Algèbre générale, Edition: version 7 Jan 2009 by Jean-Robert Belliard

By Jean-Robert Belliard

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Alors pour tout i et tout j on a n n h+j |M | = (−1) h=1 (−1)k+i mi,k |Mi,k |. mh,j |Mh,j | = k=1 La seconde égalité s’obtient en transposant la première. Pour la première on utilise la linéarité du déterminant par rapport à la j-ième colonne, puis on effectue des permutation sur lignes et colonnes (d’où le signe (−1)h+j ) pour se ramener à n matrices de la forme 1 ∗ . 2. Ces formules (Cramer) ont un corollaire important (référence la p. 65 du livre de Goblot), c’est celle qui justifie l’introduction de la transposée de la comatrice d’une matrice.

Ensuite si une homothétie non-nulle est τ -semi-linéaire alors τ = Id. 12 On a obtenu σ 2 = Id et l’existence d’un µ ∈ k × tel que g¯ = µf¯. 1. Si σ = Id, alors µ2 = 1 et soit µ = 1 et f est symétrique soit µ = −1 et f est anti-symétrique. 2. Si σ = Id, alors f n’est pas alternée et pour un x0 tel que f (x0 , x0 ) = 0 l’application (f (x0 , x0 ))−1 f est hermitienne. Remarque : En dimension 1 sur le corps fini F27 = F33 avec l’automorphisme de Fröbenius σ d’ordre 3 défini par σ(x) = x3 l’application (x, y) → xy 3 est σsequilinéaire réflexive et non dégénérée mais σ n’est pas une involution.

2 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finies, mu∗ nis des bases e1 , · · · en pour E et f1 , · · · fm pour F . Soient e∗1 , · · · , e∗n et f1∗ , · · · fm les bases duales. Soit f : E −→ F une application linéaire. Alors la matrice transposée de la matrice de f relativement aux bases (ei ) et (fj ) est la matrice de l’application transposée f t relativement aux bases (fj∗ ) et (e∗i ). Démonstration. Exercice. 2 Une utilisation du pivot de Gauß. Soit e1 , · · · , en une base de E et soit F un sous-espace de E engendré par les vecteurs u1 , · · · , ul .

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