Algèbre commutative: Chapitres 1 à 4 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce most suitable quantity du Livre d Algèbre commutative, septième Livre du traité, est consacré aux strategies fondamentaux de l algèbre commutative. Il comprend les chapitres: 1. Modules plats; 2. Localisation; three. Graduations, filtrations et topologies; four. Idéaux premiers associés et décomposition primaire.

Il contient également des notes historiques.

Ce quantity est une réimpression de l édition de 1969.

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Il),il existe un homomorphisme injectif a : A + Cf O C" tel que le diagramme 4 soit commutatif (i et p étant les applications canoniques). 7) Soient U, V, W trois groupes commutatifs, f : U -t V, g : V -+ W des homomorphismes. a) On considère le diagramme a), 8(w, a) = w - du), où "(u) = (u, f(u)), P(% a) = v - f(d, Y(V)= h(u, v) = (g(f(u)),a). Montrer que ce diagramme est commutatif et que ses lignes sont exactes. b) Déduire de a) et de la prop. 2 du no 4 une suite exacte O -t Ker (f) -t Ker (g O f ) -t Ker (g) -+ -+ Coker (f) -t Coker (g of) -+ Coker (g) -+ O.

Alors E / E r est plat. (i) Il sufit d'appliquer la prop. 7 au cas où F = A,, F' = a. (ii) Pour prouver que E / E f est plat, appliquons ie critère c) de la prop. 4 du no 5 ; il faut donc établir que la suite O -t E'/Efa -+ E/Ea -t E/(Et + Ea) -t O est exacte en Ef/E'a pour tout idéal à gauche a de type fini de A. Or, c'est exactement ce qu'exprime la relation (5). 34 ALGEBRE COMMUTATIVE chap. 1, $ 2 Remarque 2. - L a conclusion de la prop. 7 reste vraie si l'on suppose seulement que E/E1 est plat pour F ou que F/F' est plat pour E.

Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes : a) Pour qu'une suite N' z>N % N u de A-modules à gauche soit exacle, il faut et il s u f i t que l a suite i@v E@-4N'-+E@aN l@w -+E@aNr' soit exacle. b ) E est plat, et pour tout A-module a gauche N , la relation E @a N = O entraîne N = 0. c) E est plat, et pour tout homoinorphisme v : N' -t N de A-modules à gauche, l a relation l x @ v = O entraîne v = 0. d ) E est plat, et pour tout idéal à gauche maximal m de A, o n a E # Em. Pour simplifier l'écriture, nous poserons T(Q) = E @A Q pour tout A-module à gauche Q, et T ( v ) = 1, G3 v pimr tout homomorphisme v de A-modules à gauche.

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