# Algebra II 13ed. by Armando Rojo

By Armando Rojo

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Example text

A = n [a + (n - 1) b] (a - b)n-l. 32 Determinanten. § 14. Erweiterung der Weierstraßschen Definition. Die in § 11 gegebene Definition einer Determinante läßt sich verallgemeinern und auf ein System von Veränderlichen übertragen, in dem die Anzahl der Zeilen nicht gleich der der Spalten zu sein braucht. Wie wir bald sehen werden, hat nur der Fall Interesse, wo mehr Spalten als Zeilen auftreten. Es seien ai k(i=1,2, ... ,m; k=1,2, ... ,n) mn veränderliche Größen, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind, und es soll n > m sein.

F) Nach der ersten Spalte wurde entwickelt, usw. Man formt, wie das Beispiel zeigt, die Determinante so um, daß in einer Reihe nur noch ein von 0 verschiedenes Element vorkommt. Dann streiche man Zeile und Spalte, in der dieses Element steht, setze es als Faktor vor und gebe das Vorzeichen (-I)i+k nach dem Schachbrett prinzip. 28 Determinanten. 5. V bezeichnet das Volumen eines Tetraeders, IX, ß, y sind drei von einer Ecke ausgehende Kanten, a, b, c die diesen bzw. gegenüberliegenden. Es gilt folgende Formel, die später abgeleitet wird: o c2 288 V2 = b2 0<:2 1 c2 0 a2 b2 a 2 0 ß2 1 1'2 1 1X 2 ß2 y2 0 1 1 1 1 1 0 Zur übung im Berechnen von Determinanten sind folgende Zahlenbeispiele nachzuprüfen.

Die 6 Matrizen 61 = C0 0) 0 1 0 001 , 2 -ll) 5, ~ (~ C 7 64 = 5,~G -2 7 -12 , -1 3 - 5 -') 2-) -1 -1 -2 , -1 0 -1 -2 , -1 0 6a= C' 4-6) 0 1 0 001 C 6 66 = -'2) -2 7 -12 -1 3 - 5 54 Matrizen. haben die Eigenschaft, daß das Produkt von je zweien wieder eine der 6 Matrizen ist. Man sagt auch, sie bilden eine endliche Gruppe. Aufgabe: Die Gruppentafel ist aufzustellen, d. h. eine quadratische Tafel aus 6 Zeilen und 6 Spalten ist auszufüllen, die Reihen sind mit 1 bis 6 numeriert, und es wird z. B. in das Feld der zweiten Zeile und dritten Spalte 6, eingetragen, weil 6 2 6 s = 6, ist.